5.12. Что такое переключательная схема?

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема - это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю - если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)  

  •  
      Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;
       

б)  

  •  
      Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;
       

в)  

  •  
      Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;
       

г)  

  •  
      Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;
       

д)  

  •  
      Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = xЧy;
       

е)  

  •  
      Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;
       

ж)  

  •  
      Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией .
       
Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

    1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
    2. упрощению этой функции;
    3. построению соответствующей схемы.


АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

    1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
    2. получению упрощённой формулы.


Примеры.

1. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) = t Ч (x v y v z), а схема выглядит так:




2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

Схема имеет вид:


3. Найдем функцию проводимости схемы:
Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) = aЧb v aЧ eЧd v cЧd v cЧeЧb.

4. Упростим переключательные схемы:

а)  

Решение:

Упрощенная схема:

б)  

.

Здесь первое логическое слагаемое является отрицанием второго логического слагаемого , а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :

в)  

Упрощенная схема:

г)  

Упрощенная схема:

д)  

(по закону склеивания)

Упрощенная схема:

е)  

Решение:

Упрощенная схема:

Другие записи

10.06.2016. 5.6. Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ?
С х е м а   И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 5.1. Таблица истинности - в…
10.06.2016. 5.7. Что такое триггер?
Триггер - это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует…
10.06.2016. 5.8. Что такое сумматор?
Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел. Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит…
10.06.2016. 5.10. Как составить таблицу истинности?
Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы. Для формулы, которая содержит две переменные,…
10.06.2016. 5.11. Как упростить логическую формулу?
Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования…