5.14. Упражнения

5.1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие - нет (объясните почему):

  •  
    • а) "Солнце есть спутник Земли";
    • б) "2+3=4";
    • в) "сегодня отличная погода";
    • г) "в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";
    • д) "Санкт-Петербург расположен на Неве";
    • е) "музыка Баха слишком сложна";
    • ж) "первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";
    • з) "железо - металл";
    • и) "если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным";
    • к) "если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный".

[ Ответ ] 5.1. Являются высказываниями: а), г), д), ж), з), и), к);
не являются высказываниями
: б); в); е).

5.2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие - ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.
[
Ответ ] 5.2. Истинные: д), з), к);
ложные:
а), и);
истинность трудно установить
: г);
можно рассматривать и как истинное, и как ложное
в зависимости от требуемой точности представления: ж).

5.3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

  •  
    • а) из арифметики;   б) из физики;
    • в) из биологии;   г) из информатики;
    • д) из геометрии;   е) из жизни.

[ Ответ ] 5.3. Образцы.
Истинные высказывания: а)
"2+2=4"; б) "сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними" в) "зайцы питаются растениями"; г) "бит - фундаментальная единица информации, используемая в теории информации"; д) "два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника"; е) "понедельник - первый день недели".
Ложные высказывания: а) "4+3=5"; б) "тело падает на Землю с ускорением, пропорциональным своей массе"; в) "животные это неживая природа" г) "информатика - наука о термической обработке металлов"; д) "квадрат это фигура у которой пять сторон"; е) "лев - домашнее животное"

.

5.4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

  •  
    • а) "Эльбрус - высочайшая горная вершина Европы";
    • б) "2>=5";
    • в) "10<7";
    • г) "все натуральные числа целые";
    • д) "через любые три точки на плоскости можно провести окружность";
    • е) "теннисист Кафельников не проиграл финальную игру";
    • ж) "мишень поражена первым выстрелом";
    • з) "это утро ясное и теплое";
    • и) "число n делится на 2 или на 3";
    • к) "этот треугольник равнобедренный и прямоугольный";
    • л) "на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой".

[ Ответ ] 5.4. а) "Эльбрус - не высочайшая горная вершина Европы"; б) "2<5"; в) "10>=7"; г) "не все натуральные числа целые"; д) "не через любые три точки на плоскости можно провести окружность"; е) "теннисист Кафельников проиграл финальную игру"; ж) "мишень не поражена первым выстрелом"; з) "это утро не ясное или оно не теплое" (Пояснение. Пусть А = "это утро ясное", а B = "это утро теплое". Тогда "это утро ясное и теплое" можно записать как АВ, отрицанием чего является , что соответствует высказывательной форме "это утро не ясное или оно не не теплое"; и)"число n не делится на 2 и оно делится на 3"; к) "этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный"; л) "не каждый ученик писал контрольную своей ручкой" (вариант: "кто-то писал контрольную не своей ручкой").

5.5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

  •  
    • а) "5<10", "5>10";
    • б) "10>9", "10<=9";
    • в) "мишень поражена первым выстрелом", "мишень поражена вторым выстрелом";
    • г) "машина останавливалась у каждого из двух светофоров", "машина не останавливалась у каждого из двух светофоров",
    • д) "человечеству известны все планеты Солнечной системы", "в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству";
    • е) "существуют белые слоны", "все слоны серые";
    • ж) "кит - млекопитающее", "кит - рыба";
    • з) "неверно, что точка А не лежит на прямой а", "точка А лежит на прямой а";
    • и) "прямая а параллельна прямой b", "прямая a перпендикулярна прямой b";
    • к) "этот треугольник равнобедренный и прямоугольный", "этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный".

[ Ответ ] 5.5. Являются отрицаниями друг друга: б), г), д), к);
не являются отрицаниями друг друга: а), в), е), ж), з), и).

5.6. Определите значения истинности высказываний:

  •  
    • а) "наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт";
    • б) "наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт";
    • в) "если целое число делится на 6, то оно делится на 3";
    • г) "подобие треугольников является необходимым условием их равенства";
    • д) "подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства";
    • е) "треугольники подобны только в случае их равенства";
    • ж) "треугольники равны только в случае их подобия";
    • з) "равенство треугольников является достаточным условием их подобия";
    • и) "для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны";
    • к) "для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны".

[ Ответ ] 5.6. Истинны: б), в), г), з), к), и);
ложны: а), д), е), ж).

5.7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

  •  
    • а) еслиили (b и с)), то d;
    • б) если (не а и не b), тоили d);
    • в)или b) тогда и только тогда, когдаи не d).

5.8. Формализуйте следующий вывод: "Если a и b истинны, то c - истинно. Но c - ложно: значит, a или b ложны".
[
Ответ ] 5.8. .

5.9. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: "Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги".

Формализуйте также ответ сына: "Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди".
[
Ответ ] 5.9. Решение. Введем обозначения для логических высказываний: а - "ты будешь говорить правду"; b - "тебя возненавидят люди"; c - "тебя возненавидят боги". Договоримся считать, что некоторое заданное высказывание x истинно, если нет оговорки. Тогда предостережение матери можно записать так:
. А ответ сына - так:
.

5.10. Пусть a = "это утро ясное", а b = "это утро теплое". Выразите следующие формулы на обычном языке: