Логические элементы и логические функции. Элементы математической логики.

Логическая функция - это функция логических переменных, которая

может принимать только два значения : 0 или 1. В свою очередь,

сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может

принимать только два значения : 0 или 1.

Логический элемент - это устройство, реализующее ту или иную

логическую функцию.

Y=f(X1,X2,X3,...,Xn) - логическая функция, она может быть задана

таблицей, которая называется таблицей истинности.

 


Лог. функция

 

Число строк в таблице - это число возможных наборов значений

аргументов. Оно равно 2n, где n - число переменных.

Число различных функций n переменных равно 22^n.

 


Логические функции одной переменной
Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего

2 строки, а число функций одной переменной равно 4.

 

1. Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции -

соединение вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом.

Таблица истинности функции константа 0 имеет вид:

 


Конст. 0

 

2. Функция Y=f(X)=X - функция повторения. Техническая реализация

этой функции - соединение между собой выводов X и Y.

Таблица истинности функции повторения имеет вид:

 


Повторение

 

3. Функция Y=f(X)=NOT(X) - отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) - это НЕ X).

Техническая реализация этой функции - инвертор на любом транзисторе

или логическом элементе, или транзисторный ключ.

Таблица истинности функции отрицания имеет вид:

 


Отрицание

 

Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:
(пишется X c чертой сверху)

 


Лог. НЕ

 

4. Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции -

соединение вывода Y с источником питания.

Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:

 


Конст. 1

 

Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ,

остальные функции являются тривиальными.

 


Логические функции двух переменных
Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1,Х2) содержит 4

строки, а число функций двух переменных равно 16.

Мы рассмотрим только несколько основных функций двух переменных.

 

1. Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):

Y= X1 + X2 = X1VX2

Техническая реализация этой функции - два параллельно соединенных

ключа:


OR Rialise

 

Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:

 


Лог. ИЛИ

 

Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

 


ИЛИ

 

2. Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпаде-

ний): Y = X1X2 = X1&X2

Техническая реализация этой функции - два последовательно сое-

диненных ключа:


& Realise

 

Таблица истинности логического И имеет вид:

 


Лог. И

 

Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:

 


И

3. Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)

Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:


Стрелка Пирса

 

Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

 


Стр. Пирса

4. Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)

Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:


Штрих Шеффера

 

Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

 


И-НЕ

 

Есть ещё три логические функции двух переменных, имеющие специ-

альные названия: импликация, эквивалентность, неравнозначность

(исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2). Последние две функции

являются взаимно обратными, также как, например, функция И и

функция штрих Шеффера.

 


Элемент памяти - RS-триггер
Триггер - это логическое устройство, способное хранить 1 бит ин-

формации. К триггерам относятся устойства, имеющие два устойчивых

состояния. Простейший триггер - RS-триггер, образован из двух

элементов И-НЕ (или ИЛИ-НЕ). Он позволяет запоминать 1 бит инфор-

мации, поскольку информация в компьютере представляется в двоич-

ном виде. Его схема приведена ниже.

 


RS-триггер

 

Действие RS-триггера поясняется в приведенной ниже таблице ис-

тинности. S-вход установки (Set), R-вход сброса (Reset).


Табл. RS-триггера

В обычном (исходном) состоянии на входы триггера поданы 1. Для

записи информации на вход R подан 0. Для сброса информации и под-

готовки к приёму новой информации на вход S подается 0 и триггер

вернётся в исходное состояние.

Поскольку один триггер запоминает 1 бит информации, то для запо-

минания 1 байта (8 бит) нужно 8 триггеров, для запоминания 1 Кб

(1024 байт) надо 8192 триггеров. Современные микросхемы ОЗУ спо-

собны запоминать десятки мегабайт информации.

 


Элементы математической логики
Существуют такие наборы логических функций, с помощью которых

можно выразить любые другие логические функции. Они называются

функционально полными или базисами. Наиболее известный базис -

это набор функций И, ИЛИ, НЕ. Функция штрих Шеффера является ба-

зисной, также как и функция стрелка Пирса. Поэтому, с помощью ло-

гических элементов ИЛИ-НЕ или И-НЕ можно собрать любую логическую

схему. На таких элементах собран микропроцессор компьютера и дру-

гие логические устройства. Логические схемы состоят из логических

элементов, осуществляющих логические операции.

Логика - наука, изучающая методы установления истинности или лож-

ности одних высказываний на основе истинности или ложности других

высказываний (утверждений). Логика изучает методы доказательств и

опровержений. Логика составляет основу всякого управления, в том

числе технологическими процессами.

Математическая логика - современная форма логики, опирающаяся на

формальные математические методы.

Основные объекты логики - высказывания, то есть предложения, ко-

торые могут быть либо истинными, либо ложными. Существуют два

подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опыт-

ный) и логический. При эмпирическом подходе истинность высказыва-

ний устанавливается на основе наблюдений, экспериментов, докумен-

тов и других фактов. При логическом подходе истинность высказыва-

ний доказывается на основе истинности других высказываний, то

есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения к фак-

там.

В языках программирования QBasic и Turbo Pascal логические функ-

ции И, ИЛИ, НЕ реализуются в виде логических операций OR (ИЛИ),

AND (И), NOT (НЕ).

Множество всех логических функций, на котором определены три ло-

гические операции И, ИЛИ, НЕ называется булевой алгеброй (по име-

ни основоположника математической логики английского математика

Джорджа Буля). Упрощение формул в булевой алгебре производится на

основе эквивалентных преобразований, опирающихся на следующие ос-

новные законы (эквивалентные соотношения):


Алгебра логики

Кроме того, применяются ещё три соотношения:
Алгебра логики

Законы 1,2,3,7 показывают, что свойства конъюнкции очень похожи

на свойства умножения, поэтому её часто называют логическим умно-

жением. Из законов 6 и 8 следует, что используя отрицание, дизъ-

юнкцию можно выразить через конъюнкцию, и наоборот:


Алгебра логики

Это означает, что наборы И-НЕ и ИЛИ-НЕ также являются функцио-

нально полными или базисными.

Другие записи

10.06.2016. Состав персонального компьютера. Принципы построения компьютера.
  Поколения ЭВМ Первое поколение-компьютеры на электронных лампах (1946-1956г.). За точку отсчета эры ЭВМ обычно принимают 15 февраля 1946 года, когда ученые Пенсильванского университета США ввели…
10.06.2016. Понятие о программном обеспечении (Software). Понятие об интерфейсе. Типы интерфейсов.
  Понятие о программном обеспечении (Software). Программное обеспечение (ПО) - это совокупность программ, позволяющая организовать решение задач на ЭВМ. ПО и архитектура ЭВМ (аппаратное обеспечение)…
10.06.2016. Дисковая операционная система (DOS)
План урока   Ввдение. 1. Дисковая операционная система (DOS). Основные понятия DOS. 2. Версии DOS. MS-DOS. 3. Составные части DOS. 4. Командный процессор command.com и его функции. 5. Начальная…
10.06.2016. Внутренние и внешние команды DOS. Создание файла в MS-DOS. Основные виды оперативной памяти (ОЗУ).
I. Основные внутренние команды DOS. Внутренние команды DOS выполняет командный процессор command.com. Применение внутренних и внешних команд DOS относится к области системного программирования. 1.…
10.06.2016. Программная оболочка Norton Commander
Norton Commander (NC) является наиболее популярной программной оболочкой для работы с DOS. Запуск Norton Commander - записать NC в командную строку и нажать Enter. Как правило, запуск NC производится…