7.2. Рекурсивная обработка деревьев

  •  
      Двоичным деревом называется картинка вроде
      o
      \
      o o
      \ /
      o o
      \ /
      o

      Нижняя вершина называется корнем. Из каждой вершины могут идти две линии: влево вверх и вправо вверх. Вершины, куда они ведут, называются левым и правым сыновьями исходной вершины. Вершина может иметь двух сыновей, а может иметь только одного сына (левого или правого). Она может и вовсе не иметь сыновей, и в этом случае называется листом.

      Пусть x - какая-то вершина двоичного дерева. Она сама вместе с сыновьями, внуками, правнуками и т.д. образует поддерево с корнем в x - "поддерево потомков x".

      В следующих задачах мы предполагаем, что вершины дерева пронумерованы целыми положительными числами, причем номера всех вершин различны. Мы считаем, что номер корня хранится в переменной root. Мы считаем, что имеются два массива
      l,r: array [1..N] of integer

      и левый и правый сын вершины с номером i имеют соответственно номера l[i] и r[i]. Если вершина с номером i не имеет левого (или правого) сына, то l[i] (соответственно r[i]) равно 0. (По традиции при записи программ мы используем вместо нуля константу nil, равную нулю.)

      Здесь N - достаточно большое натуральное число (номера всех вершин не превосходят N). Отметим, что номер вершины никак не связан с ее положением в дереве и что не все числа от 1 до N обязаны быть номерами вершин (и, следовательно, часть данных в массивах l и r - это мусор).

      7.2.1. Пусть N=7, root=3, массивы l и r таковы:
      i | 1 2 3 4 5 6 7
      l[i] | 0 0 1 0 6 0 7
      r[i] | 0 0 5 3 2 0 7

      Нарисовать соответствующее дерево.
      Ответ: 6 2
      \ /
      1 5
      \ /
      3

      7.2.2. Написать программу подсчета числа вершин в дереве.

      Решение. Рассмотрим функцию n(x), равную числу вершин в поддереве с корнем в вершине номер x. Считаем, что n(nil)=0 (полагая соответствующее поддерево пустым), и не заботимся о значениях nil(s) для чисел s, не являющихся номерами вершин. Рекурсивная программа для s такова:
      function n (x:integer):integer;
      begin
      | if x = nil then begin
      | | n:= 0;
      | end else begin
      | | n:= n(l[x]) + n(r[x]) + 1;
      | end;
      end;

      (Число вершин в поддереве над вершиной x равно сумме чисел вершин над ее сыновьями плюс она сама.) Глубина рекурсии конечна, так как с каждым шагом высота соответствующего поддерева уменьшается.

      7.2.3. Написать программу подсчета числа листьев в дереве.

      Ответ.
      function n (x:integer):integer;
      begin
      | if x = nil then begin
      | | n:= 0;
      | end else if (l[x]=nil) and (r[x]=nil) then begin {лист}
      | | n:= 1;
      | end else begin
      | | n:= n(l[x]) + n(r[x]);
      | end;
      end;

      7.2.4. Написать программу подсчета высоты дерева (корень имеет высоту 0, его сыновья - высоту 1, внуки - 2 и т.п.; высота дерева - это максимум высот его вершин).

      Указание. Рекурсивно определяется функция f(x) = высота поддерева с корнем в x.

      7.2.5. Написать программу, которая по заданному n считает число всех вершин высоты n (в заданном дереве).

      Вместо подсчета количества вершин того или иного рода можно просить напечатать список этих вершин (в том или ином порядке).

      7.2.6. Написать программу, которая печатает (по одному разу) все вершины дерева.

      Решение. Процедура print_subtree(x) печатает все вершины поддерева с корнем в x по одному разу; главная программа содержит вызов print_subtree(root).
      procedure print_subtree (x:integer);
      begin
      | if x = nil then begin
      | | {ничего не делать}
      | end else begin
      | | writeln (x);
      | | print_subtree (l[x]);
      | | print_subtree (r[x]);
      | end;
      end;

      Данная программа печатает сначала корень поддерева, затем поддерево над левым сыном, а затем над правым. Три строки в else-части могут быть переставлены 6 способами, и каждый из этих способов дает свой порядок печати вершин.

Другие записи

10.06.2016. 7.3. Порождение комбинаторных объектов, перебор
Рекурсивные программы являются удобным способом порождения комбинаторных объектов заданного вида. Мы решим заново несколько задач соответствующей главы. 7.3.1. Написать программу, которая печатает…
10.06.2016. 7.4. Другие применения рекурсии
Топологическая сортировка. Представим себе n чиновников, каждый из которых выдает справки определенного вида. Мы хотим получить все эти справки, соблюдая установленные ограничения: у каждого чиновника…