Кудряшев А. Ф. "Модальные онтология в математике"

Онтология как учение о бытии занимает, пожалуй , центральное место в систематической философии, поскольку координирует отношение других ее частей друг к другу и лежит в основе единства всей философии. В онтологии выделяют различные виды бытия и обсуждают их специфические черты. Часто встречающиеся разделения бытия, например, на бытие материальное и идеальное, как правило, не являются строгими классификациями и могут считаться лишь неким приближением к таковым. Критерии классификации выбираются самые разные в зависимости от принятой трактовки бытия и его интерпретации на конкретном материале, что связано в немалой степени с личными привязанностями авторов, а также с давлением господствующей традиции и актуальной проблематики.

В известной традиции, рассматривающей язык в качестве дома бытия, бытие увязано со смыслом высказываний, и рассуждения в рамках онтологии ведутся относительно текстов с различными смысловыми наполнениями. Понимание бытия в языковом ракурсе, к примеру, как атрибута, делающего высказывание осмысленным, побуждает преодолеть упрощенный схематизм распространенных дихотомических или трихотомических классификаций бытия. Они не только не улавливают различные эмоциональные состояния, которые владели автором текста и оставили следы на бумаге, но и недостаточно адекватно отображают объективные модальности возможности, необходимости, и т.п., передаваемые в речи посредством разнообразных языковых конструкций.

В лингвистике же модальность исследуется специально и берется "как комплекс актуализационных категорий, характеризующих с точки зрения говорящего отношение пропозитивной основы содержания высказывания к действительности по доминирующим признакам реальности/ирреальности" [1]. Лингвисты подразделяют модальность в самом общем плане на субъективную и объективную и конкретизируют ее исследования, анализируя модальное поле и типовые модальные ситуации, выражаемые в предложении, или, применительно к тексту в целом, строят его модальную сетку наподобие темпоральной [2].

В формальной логике модальности изучаются и классифицируются в течение более длительного промежутка времени, чем в языкознании. Сложившееся деление суждений по модальности на классы дает основание для различных логик - алетической, деонтической, эпистемической, временной, и т.п. Считается, что алетические модальности, в свою очередь, состоят из ассерторических, аподиктических и проблематических. Ассерторические модальности соотносят с действительностью, посредством аподиктических выражают необходимость, а с помощью проблематических модальностей выделяют возможности. Разработанные в логике классификации модальностей были заимствованы лингвистами. Однако, со временем "в практике лингвистических исследований границы употребления термина "модальность" утратили свою определенность. Трактовка модальности в современной лингвистике необычайно широка, к тому же трудно найти двух авторов, которые понимали бы модальность одинаково" [3]. Такое состояние современной лингвистической теории модальности соответствует сложности языка и изучаемой проблемы. Вместе с тем, оно является результатом широкой, доходящей до универсальной, и притом содержательной трактовки модальности, когда общее, родовое понятие стремятся превратить в систему модальностей, такую же сложную, как сам язык .

Выделение модальностей различных типов можно провести и в математике, при всей ее специфичности, такой, что из-за строгости рассуждений вне собственно математических текстов остаются эмоции или оценочные суждения. Тем не менее, субъективные переживания автора часто оказываются важными, подразумеваются, и их следы в тексте могут ощущаться особо чувствительными натурами. Пожалуй, еще более существенна объективная модальность математических текстов.

Суждения, принадлежащие к области математики, обычно причисляют к суждениям логической модальности (в отличии от модальности физической), выведенным на основе правил логики, а потому к аподиктическим суждениям. "Логически необходимыми считаются правила и законы логики и других дедуктивных наук: математики, чистой механики и т.п." [4]. Так, суждение "гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 и 4 см, должна быть равна 5 см" [5] принадлежит к классу суждений логической модальности; более общее суждение (теорема Пифагора) "сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы" рассматривается как аподиктическое суждение [6].

Но стоит ли все то, что говорится в математике, "причесывать" под одну модальную гребенку ? Очевидно, что не всякое математическое суждение следует классифицировать как аподиктическое. Реальная картина математики гораздо сложнее. Можно выделить, по крайней мере, три онтологически разных типа математических высказываний. Во-первых, высказывания "как должно быть" (необходимость); во-вторых, типа "как может быть" (возможность); в-третьих, высказывания "как могло бы быть" (реальность - ирреальность). Выделенным типам высказываний можно противопоставить высказывания "как (оно) есть на самом деле". Высказывания каждого типа в отдельности характеризуют определенный мир смыслов и отношений.

Мир "Как (оно) есть" содержит высказывания о действительности. В этом мире бывает, что 10<12, что солнце всходит и заходит. В нем выполняется закон всемирного тяготения. К сожалению, здесь существует варварство, совершаются убийства. В действительности есть исключения из правил, встречаются факты, не укладывающиеся в имеющееся описание.

О том, как (оно) есть в природе на самом деле, говорит физика в содружестве с математикой. Их единство не вполне равноправно, и при описании природы приходится больше верить физике. Предметное различие между этими науками влечет за собой различия в стиле мышления физика и математика.

Анри Пуанкаре, выдающийся математик и одновременно выдающийся физик, полагал, что физическая непрерывность имеет предел. Для физика при определенной погрешности измерений 10г = 11г, а 11г = 12г. Но при тех же условиях физик находит, что 10г < 12г. Физическую непрерывность Пуанкаре выражал формулой А=В, В=С, А < С, в которой он видел нарушения закона противоречия [7]. В отличии от физика, математик, если он хочет оставаться математиком, вынужден исповедывать другую идеологию, тщательно соблюдая требование непротиворечивости.

Мир "Как (оно) есть на самом деле" весьма запутанный. Ориентироваться в нем помогает знание других модальных миров и умение их различать. Рассмотрим онтологические особенности миров математики, соответствующих выделенным выше типам математических высказываний. Мир "Как должно быть" предстает миром, где числа - идеальные объекты, и вычисления производятся с нулевой погрешностью, где 10 <11 <12, реализована идея математической непрерывности, и т.п. Это - трансцендентальный мир идеалов, в котором все необходимо и предрешено, нет свободы выбора и проникновение в который выглядит как умозрение очевидностей и дедуктивный вывод.

Как известно, соотношение должного и сущего составляет предмет этики. Онтологические различия в математике позволяют говорить о своеобразной внутриматематической этике в смысле ориентировки ученого на мир должного.

В свое время в одном крупном вычислительном центре состоялась дискуссия по вопросу, до какого десятичного знака после запятой следует производить вычисления при решении на ЭВМ задач прикладной физики. Предлагалось учесть, что начальные и граничные условия и физические константы задаются с определенной погрешностью, а потому вычислять с максимально возможной для машин точностью не имеет смысла и не экономично. В итоге дискуссии возобладала точка зрения "математиков": "Мы - математики, поэтому вычислять надо с максимально возможной точностью". Так сработала установка на внутриматематическую норму - стремление приблизиться к тому, что является для математика объективно должным.

Разумеется, "человеческая" этика математика, как и всякого ученого, выходит за рамки его науки и может ставиться им выше математических критериев. Например, для Пуанкаре главным критерием ценности, выше истины, являлась полезность - сложное, комплексное образование, включающее в себя и истинностную, и эстетическую составляющую, прекрасное, и имеющее моральную сторону.

Мир "Как может быть" предстает как мир возможностей, реализующихся при некоторых условиях также из разряда возможных. Это мир, отвечающий решениям систем дифференциальных уравнений, он соответствует гипотезам, условным суждениям "если...то" при разнообразии возможных условий и допустимых решений. Этот мир правдоподобен, в нем есть выбор вариантов, разрешающий выбор возможной логики рассуждений и доказательств.

В мир "Как могло бы быть" включено то, что может и не может быть на самом деле. В этом смысле мир "Как могло бы быть" безусловен. Он содержит как свою часть мир "Как может быть". В мире "Как может быть" в значительной мере реализуется игра воображения, игра, надо полагать, по некоторым варьируемым правилам, которые могут браться из "воображаемых" логик.

Традиционно отрицание исключают из разряда модальностей. Однако, такое решение не является бесспорным и, по существу, скрывает проблему, нуждающуюся в специальном изучении. Поэтому с некоторой долей осторожности допустимо полагать, что в мире "Как могло бы быть" могут отрицаться законы, известные науке и сформулированные на языке математики. Дело в том, что отрицание может быть косвенным, а не только явным, и иметь определенную степень категоричности. Кроме того, мы можем не знать, осуществима или не осуществима в действительности та или иная мысленная конструкция, и, следовательно, так или иначе отрицает ли она то, что может быть на самом деле. Во всяком случае, в мире "Как могло бы быть" присутствуют противоречия.

В аналогичном мире историко-литературных фантазий, т.е. вне математики, например, Дантес и Кандинский не только те, за кого их принято считать и кем они являлись в истории, но и совершенно другие люди: Дантес - это Трубецкой [8], Кандинский - это Ленин [9].

Если в мире "Как (оно) есть на самом деле" социально обусловленная норма уменьшает вероятность отклонения от должного, то в мире "Как могло бы быть" нормой является отклонение от того, как бывает. В принципе, единственным условием, устанавливающим онтологическую (в отличии от гносеологической) невозможность части объектов этого мира, является изменение мира "Как (оно) есть" таким образом, каким оно предстает в описании. Стоит миру "Как (оно) есть" измениться в неожиданном направлении, и мир "Не может быть" может поменять свой статус. В целом, можно заметить, что выделенные миры четко не отграничиваются друг от друга, хотя каждый из них имеет свою специфику.

Мышление математиков развивается так, что испытывает давление со стороны той или иной онтологии. Онтологически различаются изложение и конструирование, или изобретение, если пользоваться термином Пуанкаре. При изложении математического факта изначально утверждается то, что уже имеет доказательство. При изобретении имеют дело с вопросом, включающим сомнение, и следовательно, с возможностями опровергнуть предположение. В этом втором случае в предположении говорится о существовании (проблематическом, но тем не менее все равно существовании) математического объекта, окончательное существование или несуществование которого устанавливается доказательством. Тогда, когда существование объекта уже доказано, это будет существование в результате доказательства.

Доказательство несуществования объекта означает отрицание существования с доказательством, но не отменяет существования как предположения. У Пуанкаре имеются высказывания, которые, как кажется, свидетельствуют о том, что он различал два указанных вида существования. "Можно ли сказать, что предмет не существует, если его назвали W ?" - спрашивает Жак Адамар, и Пуанкаре вроде бы с ним соглашается [10]. Пуанкаре полагал, что "математическое умозаключение само в себе заключает род творческой силы и ... отличается от силлогизма" [11]. Творческая сила более всего важна своими онтологическими результатами, в которых суть человеческого творчества проявляется ярче всего. Уже одно только существование науки имеет смысл доказательства, о чем писал великий французский ученый, когда вел речь о необходимом свойстве науки - принципе детерминизма, существование которого, согласно Пуанкаре, как раз и доказывается существованием науки [12]. Однако, доказательство как таковое в математике несет в себе заряд новой - и еще большей - онтологической убедительности.

В любом конкретном случае математического рассуждения всегда подразумевается соотнесенность с определенной системой онтологии. Это есть разновидность скрытых определений (по Пуанкаре).

Может сложиться тот или иной тип предпочтений математика в системе модальных онтологий. Такое предпочтение и является стилем мышления, по крайней мере с точки зрения онтолога. То, что стиль мышления существует, несомненно настолько, насколько предпочтение является реальным фактом мышления математиков. Подход к стилю мышления как к функции научной картины мира оказывается онтологически менее определенным и менее убедительным хотя бы потому, что остается без доказательства существование научной картины мира в виде системы фундаментальных принципов, законов, фактов различных наук. Применительно к математике этот подход в свете сказанного выше обнаруживает функциональную зависимость стиля мышления от так называемой математической картины мира, онтологический статус которой, скорее всего, соответствует миру "Как могло бы быть".

Таким образом, различие математических высказываний по модальности является непреложным фактом, и выделение соответствующих модальных онтологий позволяет философски более квалифицированно подходить к пониманию самой сути математики и математического мышления.

ПРИМЕЧАНИЯ

    1. Теория функциональной грамматики. Темпоральность. Модальность. Л. 1990. С.59.
    2. См.: Ноздрина Л.А. Теоретический курс "Грамматический аспект интерпретации художественного текста". М. 1993. Ч.1.
    3. Теория функциональной грамматики. Темпоральность. Модальность. С.67.
    4. Формальная логика. Л. 1977. С.65.
    5. Логика. Минск. 1974. С.109.
    6. См.: Формальная логика. С.64.
    7. См.: Пуанкаре А. О науке. М. 1990. С.28,239.
    8. См.: Сорокин А.С. Русский бог Трубецкой. М. 1996.
    9. См.: Гиренок Ф.И. Метафизика пата (косноязычие усталого человека). М. 1995.
    10. См.: Пуанкаре А. О науке. С.488.
    11. Там же. С.12.
    12. См.: Там же. С.666.

Другие записи

10.06.2016. Изгоев А. С. "Об интеллегентной молодежи"
Изгоев А. С. Об интеллегентной молодежи. (Заметки об ее быте и настроениях) I В Париже мне пришлось довольно близко наблюдать одну очень хорошую семью русских революционеров. Муж кончал курс "Медицинской…