Вспомогательный глагол should (форма глагола shall)

После should ставится только форма Infinitive без частицы to.

1. Используется в качестве модального глагола со значением следует / должен / следовало бы. Форма Indefinite Infinitive при этом указывает на необходимость выполнения действия в настоящем / будущем времени:

• You should come here every day. => Тебе следует приходить сюда каждый день.
• They should call me the day after tomorrow. => Они должны позвонить мне послезавтра. 

Форма Perfect Infinitive после should указывает, что действие осталось невыполненным:

• Не should have spoken to her. => Ему следовало (бы) поговорить с ней. (он не поговорил) 
• She should have warned you. => Она должна была (но не сделала этого) предупредить тебя. 

2. Используется для образования формы Future-in-the-Past для 1-го лица:

• I thought I should, not be late. => Я думал, что не опоздаю. 
• We said we should arrive early. => Мы сказали, что приедем рано. 

3. Используется как форма сослагательного наклонения:

• We should be very glad to go there with you if we had time. => Мы были бы очень рады отправиться туда с вами, если бы у нас было время.
• I should have called you if you had given me your number. => Я бы тебе позвонил, если бы дал мне номер своего телефона.
• It is important that you should understand this. => Очень важно, чтобы ты это понял.

4. Используется с 1-м лицом единственного и множественного числа для выражения мнения / желания / совета / рекомендации в более обтекаемой форме:

• We should like to see this film. => Нам хотелось бы посмотреть этот фильм.
• I should like ... => Мне хотелось бы...
• I should say ... => Я бы сказал...
• I should prefer ... => Я бы предпочел...
• We should like to have a rest. => Нам хотелось бы отдохнуть.
• I should like to buy those shoes. => Мне бы хотелось купить те туфли.
• I should prefer white wine. => Я бы предпочла белое вино.

5. Используется с 1-м и 3-м лицом в вопросах с целью получения указаний от лица, к которому обращен вопрос. Ставится на первое место в предложениях:

• Should /Shall I write it down? => (Мне) Записывать это?
• Should / Shall she show them her flat? => Ей показывать им свою квартиру?

6. Используется с 1-м и 3-м лицом при обращении в косвенную речь вопроса, задаваемого с целью получения указаний:

• Tom asked if he should post the letter. => Том спросил, нужно ли ему отправлять это письмо.
• She asked me if she should help them the next day. => Она спросила, нужно ли ей помогать им на следующий день.

7. Используется со всеми лицами для построения придаточных условных (в этом случае ставится на первое место в предложении):

• Should they call you, come and get me. => Если они позвонят тебе, приезжай за мной.
• Should I go, I should wear my black dress. => Если бы я пошла, я бы надела свое черное платье.

8. Используется со всеми лицами в придаточных дополнительных и подлежащих, где в главном предложении выражается удивление / негодование / сожаление / другие чувства (should в этом случае не обязателен, но его присутствие придает ситуации больше эмоциональности):

• I'm surprised that your wife should object (= objects). => Я удивлен тем, что ваша жена возражает.
• It's a pity that you (should) have to leave. => Очень жаль, что вам приходится уходить.

9. Используется со всеми лицами в придаточных условных для обозначения очень малой вероятности делаемого предположения:

• If they should call, I'll tell them about your plan. => Если они позвонят (на что очень мало надежды), я расскажу им о твоем плане.
• If they should call tomorrow, I should tell them about your plan. => Если бы они позвонили завтра (на что очень мало надежды), я бы рассказал им о твоем плане.

сравните:

• If they call, I'll tell them about your plan. => Если они позвонят (на что я очень надеюсь), я расскажу им о твоем плане.

10.Используется с 3-м лицом для обозначения вероятности выполнения какого-либо действия:

• I suppose, he should reach the place by now. => Я полагаю, что к этому времени он уже добрался до места.
• Не should have saved enough money by then. => Возможно, к тому времени (в прошлом) он уже скопил достаточно денег.

11. В разговорной речи используется со всеми лицами для построения вопросов, имеющих оттенок повышенной эмоциональности / раздражения (обычно после вопросительных слов how и why):

• How should I know? => Откуда я знаю?
• Why should you do it? => Почему ты должен делать это?
• How should they get the money? => Откуда / Где они возьмут деньги?