Наиболее употребительные глаголы, после которых можно использовать как инфинитив, так и герундий

to begin => начинать / начать;
to cease => прекращать / прекратить;
to continue => продолжать / продолжить;
can / cannot afford => мочь / не мочь позволить (себе);
to fear => бояться;
to forget => забывать / забыть;
to hate => ненавидеть;
to intend => намереваться;
to like => нравиться;
to dislike => не нравиться;
to neglect => пренебрегать / не обращать внимания;
to prefer => предпочитать / предпочесть;
to propose => предлагать / делать предложение;
to remember => помнить;
to start => начинать / начать;
to stop => прекращать / прекратить / остановиться:

• They began smoking / to smoke. => Они начали курить.
• The plane started going / to go down. => Самолет начал снижаться.
• What do you intend doing / to do? => Чем ты собираешься заняться?
• They hate working / to work. => Они ненавидят работу.
• She proposed leaving / to leave in an hour. => Она предложила уйти через час.
• She likes reading / to read. => Ей нравится читать. 

Примечания:
– после глаголов to forget и to prefer герундий обозначает регулярное действие:

• Don't forget locking the door. => He забывай закрывать дверь на замок.
• I prefer staying at home. => Я предпочитаю оставаться дома.

– инфинитив – одноразовое действие:

• Don't forget to lock the door. => He забудь закрыть дверь на замок.
• I preferred to stay at home. => Я предпочел остаться дома.

– после can / cannot afford инфинитив используется со значением себе:

• I cannot afford to see him again. => Я не могу позволить себе снова увидеть его. 

– герундий – со значением чтобы кто-то:

• We couldn't afford their seeing him again. => Мы не могли допустить, чтобы они снова увиделись с ним. 

– после to remember инфинитив обозначает помнить / не забыть что-то сделать:

• She remembered to buy matches. => Она не забыла (помнила) купить спички. 

– герундий обозначает помнить о том, что какое-то действие было выполнено:

• She remembered buying matches. => Она помнила, что покупала спички.

– после to fear инфинитив используется со значением сам:

• I fear to go there. => Я (сам) боюсь идти туда.

– герундий – со значением что кто-то:

• Не fears my going there. => Он боится, что я пойду туда.

– после to stop герундий обозначает прекратить действие:

• They stopped smoking. => Они перестали курить.

– инфинитив имеет значение остановиться, чтобы выполнить действие:

• They stopped to smoke. => Они остановились (, чтобы) покурить.