Массивы

  В этом разделе предлагаются задачи, в которых реализуются алгоритмы работы с массивами (упорядоченными и неупорядоченными). Для решения задач достаточно уметь пользоваться основными конструкциями языка Turbo Pascal, знать понятие массив и его описание на языке программирования.

 Замечание: При решении задач не использовать сортировки.

1. Решить задачу 5, если известно, что x[1]<=...<=x[k], y[1]<=...<=y[h].
2. Даны два неубывающих массива x: array[1..k] of integer и y: array[1..h] of integer. Найти количество различных элементов среди x[1],...,x[k],y[1],...,y[h]. Число действий порядка k+h.
3. Даны два массива x[1]<=...<=x[k] и y[1]<=...<=y[h]. Найти их "пересечение", то есть массив z[1]<=...<=z[m], содержащий их общие элементы, причем кратность каждого элемента в массиве z равняется минимуму из его кратностей в массивах x,y. Число действий порядка k+h.
4. Дан массив a[1..n] и число b. Переставить числа в массиве таким образом, чтобы сначала шли элементы меньшие b, затем равные b, затем большие b.
5. Дана квадратная таблица x[1..n,1..n] и число m<n. Для каждого квадрата m на m в этой таблице вычислить сумму стоящих в нем чисел. Число действий порядка n2.
6. В массиве a[1]...a[n] встречаются по одному разу все целые числа от 0 до n, кроме одного. Найти пропущенное число за время порядка n и с конечной дополнительной памятью.

Упражнения:

Задача 1. Дан массив х: array[1..n] of integer, причем x[1]<=x[2]<=...<=x[n]. Найти количество различных чисел среди элементов массива.

Решение:

i:=1; k:=1;
while i<>n do
begin
i:=i+1;
if x[i]<>x[i-1] then k:=k+1;
end;

Другой вариант решения:
k:=1;
for i:=1 to n-1 do
if x[i]<>x[i+1] then k:=k+1;

Задача 2. Дан массив x: array[1..n] of integer. Найти количество различных чисел среди элементов этого массива. Число действий должно быть порядка n2.

Решение:

k:=0;
for i:=1 to n do
begin
j:=i+1;y:=true;
while (j<=n) and (y) do
if x[j]=x[i] then y:=false else j:=j+1;
if y then k:=k+1;
end;

Нетрудно посчитать, что число действий порядка nъn.

Задача 3. Дан массив x: array[1..n] of integer. Не используя других массивов, переставить элементы массива в обратном порядке.

Решение: Каждый i-й элемент нужно поменять с (n+1-i)-м элементом местами. Для которых i<n+1-i, то есть 2i<n+1  <=>  2i<=n  <=>  i<=n div 2.

for i:=1 to n div 2 do
begin
k:=x[i]; x[i]:=x[n+1-i]; x[n+1-i]:=k;
end;

Многочленом от одной переменной x будем называть выражение вида
P
n(x)=a0·xn+a1·xn-1+...+a n-1·x+an.

      Например: P(x)=3·x

4

      +5·x

3

      -2·x+6.

Схема Горнера - прием для нахождения неполного частного и остатка при делении многочлена Pn(x) на двучлен (x-c).

Всякий многочлен единственным способом представим в виде
Pn(x)=(x-c)Qn-1(x)+R, где Qn-1(x)=b0 ·xn-1+...+bn-2·x+bn-1 - неполное частное, а R - остаток.

Коэффициенты многочлена Qn-1 и R вычисляются по рекуррентным формулам
b0=a0, b1=a1+c·b0, ..., bn-1=an-1+c·bn-2, R=an+c ·bn-1.

Например: Найдем частное Q(x) и остаток R при делении многочлена
(x)=2·x5-x4-3·x3+x-3 на многочлен T(x)=x-3.

Пользуясь рекуррентными формулами, получим:
2·x5-x4-3·x3+x-3=(x-3)(2·x4+5·x 3+12·x2+36·x+109)+324.

В вычислительной практике алгоритм Горнера осуществляется при помощи формулы
Pn(x)=a0+x·(a1+x· (a2+...+x·(an-1+x·an)...)). (см. Математический энциклопедический словарь; М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И. Пасиченко "Алгебра и анализ элементарных функций" стр.86).

Задача 4. Коэффициенты многочлена лежат в массиве a: array[0..n] of integer (n - натуральное число, степень многочлена). Вычислить значение многочлена в точке x, то есть
a[n]xn + ... + a[1]x + a[0].

Решение: Для 0<=k<=n вычисляем y=a[n]· xk+a[n-1]·xk-1+..+a[n-k]·x0.

Восползуемся схемой Горнера. Тогда значение многочлена будет равно
y=(...((an·x+an-1)·x+an-2)· x+...+a1)·x+a0

k:=0; y:=a[n];
while k<>n do
begin
k:=k+1;
y:=y*x+a[n-k];
end;

Задача 5. Даны два возрастающих массива x: array[1..k] of integer и y: array[1..h] of ihteger. Найти количество общих элементов в этих массивах, то есть количество тех элементов, для которых x[i]=y[j] для некоторых i и j. Число действий порядка k+h.

Решение: Возьмем дополнительные переменные 0<=k1<=k и 0<=h1<=h. Искомое количество общих элементов будем хранить в n.

k1:=0; h1:=0; n:=0;
while (k1<>k) and (h1<>h) do
if x[k1+1]<y[h1+1]
then k1:=k1+1
else if x[k1+1]>y[h1+1]
then h1:=h1+1
else begin
k1:=k1+1; h1:=h1+1; n:=n+1;
end;

Цикл повторяется k+h раз. В теле цикла выполняется или одна, или три операции присваивания. В любом случае число действий порядка k+h.

Задача 6. Даны два массива x[1]<=...<=x[k] и y[1]<=...<=y[h]. "Соединить" их в массив z[1]<=...<=z[m] (m=k+h, каждый элемент должен входить в массив z столько раз, сколько раз он входит в общей сложности в массивы x и y). Число действий порядка m.

Решение: Пусть у нас есть две стопки карточек, отсортированных по алфавиту. Мы соединяем их в одну стопку, выбирая каждый раз ту из верхних карточек обеих стопок, которая идет раньше в алфавитном порядке. Если в одной стопке карточки кончились, берем их из другой стопки.


k1:=0; h1:=0;
while (k1<>k) or (h1<>h) do
if k1=k then
begin
h1:=h1+1;
z[k1+h1]:=y[h1]
end
else
if h1=h then
begin
k1:=k1+1;
z[k1+h1]:=x[k1]
end
else
if x[k1+1]<=y[h1+1] then
begin
k1:=k1+1;
z[k1+h1]:=x[k1]
end
else
if x[k1+1]>=y[h1+1] then
begin
h1:=h1+1;
z[k1+h1]:=y[h1]
end;

При каждом вхождении в цикл (их m=k+h) выполняется только одно из условий и число операций равно двум. Значит общее число действий - 2m.

Задача 7. Некоторое число содержится в каждом из трех целочисленных неубывающих массивов x[1]<=...<=x[p], y[1]<=...<=y[q], z[1]<=...<=z[r]. Найти одно из таких чисел. Число действий должно быть порядка p+q+r.

Решение:

p1:=1; q1:=1; r1:=1;
while not((x[p1]=y[q1]) and (y[q1]=z[r1])) do
if x[p1]<y[q1] then p1:=p1+1
else if y[q1]<z[r1] then q1:=q1+1
else if z[r1]<x[p1] then r1:=r1+1;
{x[p1]=y[q1]=z[r1]}
writeln(x[p1]);

Как и в предыдущей задаче число вхождений в цикл равно p+q+r, где выполняется только один оператор присваивания.

Задача 8. Дан целочисленный массив x[1]<=...<=x[n] и число a. Выяснить, содержится ли a в этой последовательности, то есть найти такое i из 1..n, для которого x[i]=a. Количество действий порядка log2n.

Решение: Метод двоичного поиска: Рассмотрим отрезок 1..n. Делим его пополам и выбираем ту половину, в которой может находиться такое i, что x[i]=a. (см. Н.Вирт "Алгоритмы и структура данных")

q:=1; r:=n;
while r-q<>1 do
begin
m:=(r+q) div 2;
if x[m]<=a then q:=m else r:=m;
end;
if (x[q]=a) or (x[r]=a)
then writeln('есть')
else writeln('нет');

Каждый раз r-q уменьшается примерно вдвое, поэтому количество действий не превосходит 2·log2 n.

Задача 9. Дан массив x:array[1..n,1..m] of integer, упорядоченный по строкам и по столбцам и число a. Требуется выяснить, встречается ли a среди x[i,j].

Решение: Представляя массив как матрицу (прямоугольник, заполненый числами), выберем прямоугольник, в котором только и может содержаться a, и будем его сужать. Прямоугольник этот будет содержать x[i,j] при 1<=i<=h и k<=j<=m. Допускаются пустые прямоугольники при h=0 и k=m+1.




      h:=n;k:=1;

 

      while (h>0) and (k<m+1) and (x[h,k]<>a) do

 

      if x[h,k]<a then k:=k+1 else h:=h-1;

 

      answer:=(h>0) and (k<m+1);

 

Задача 10. (Московская олимпиада) Дан неубывающий массив положительных целых чисел a[1]<=a[2]<=...<=a[n]. Найти наименьшее целое положительное число, не представимое в виде суммы нескольких элементов этого массива (каждый элемент массива может быть использован не более одного раза). Число действий порядка n.

Решение: Пусть известно, что числа, представимые ввиде суммы элементов a[1],...,a[k], заполняют отрезок от 1 до некоторого R. Если a[k+1]>R+1, то R+1 и будет минимальным числом, не представимым в виде суммы элементов массива. Если же a[k+1]<=R+1, то числа, представимые в виде суммы элементов a[1],...,a[k+1], заполняют отрезок от 1 до R+a[k+1].

k:=0;R:=0;
while (k<>n) and (a[k+1]<=R+1) do
begin
R:=R+a[k+1];
k:=k+1;
end;
writeln(R+1);

Очевидно, что число действий не превосходит 2·n.

Задача 11. Дан массив x[1..n] и число b. Переставить числа в массиве таким образом, чтобы слева от некоторой границы стояли числа, меньшие или равные b, а справа от границы - большие или равные b.

Решение:

h:=0;r:=n;
while h<>r do
if a[h+1]<=b then h:=h+1
else
if a[r]>=b then r:=r-1
else begin
m:=a[h+1];
a[h+1]:=a[r];
a[r]:=m;
h:=h+1;
r:=r-1;
end;

 

Другие записи

10.06.2016. Задачи без массивов
В данной теме предлагаются решения простых задач с наименьшим числом действий (выполяемых операторов присваивания). Задача 1. Дано число а и натуральное число n. Вычислить аn (a в степени n). Решение:…
10.06.2016. Cписок литературы
  1. Александров В.В. Рисунок, чертеж, картина на ЭВМ. - Л., Машиностроение, 1987г. 2. Аммерал Л. Принципы программирования в машинной графике. -М., Сол Систем, 1992г. 3. Арсак Ж. Программирование игр…